Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，若a₁a₅=64，S₅-S₃=48．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）對于正整數(shù)k，m，l（k＜m＜l），求證：“m=k+1且l=k+3”是“5a_k，a_m，a_l這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，且集合M={n|

bn

an

≥λ，n∈N*}中有且僅有3個元素，試求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)先求出a₃，由等比數(shù)列的通項公式、前n項和的定義求出公比q，代入等比數(shù)列的通項公式化簡即可；
（2）由充要條件的定義分別證明充分性、必要性，順序分類討論后分別利用等差數(shù)列的性質(zhì)和a_n進行證明；
（3）由（1）化簡a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6后，兩邊同乘以2再作差求出b_n，注意驗證n=1是否成立代入

bn

an

，利用作差判斷數(shù)列{

bn

an

}的單調(diào)性，再求出符合條件的λ的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，
∵數(shù)列{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴a1a5=a32=64，解得a₃=8，
又∵S₅-S₃=48，∴a4+a5=8q2+8q=48，解得q=2，
∴an=8•2n-3=2n；    …4分
（2）（�。┍匾�性：設(shè)5a_k，a_m，a_l這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，
①若2•5a_k=a_m+a_l，則10•2^k=2^m+2^l，∴10=2^m-k+2^l-k，∴5=2^m-k-1+2^l-k-1，
∴

2m-k-1=1 2l-k-1=4

，∴

m=k+1 l=k+3

．…6分
②若2a_m=5a_k+a_l，則2•2^m=5•2^k+2^l，∴2^m+1-k-2^l-k=5，左邊為偶數(shù)，等式不成立，
③若2a_l=5a_k+a_m，同理也不成立，
綜合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分
（ⅱ）充分性：設(shè)m=k+1，l=k+3，
則5a_k，a_m，a_l這三項為5a_k，a_k+1，a_k+3，即5a_k，2a_k，8a_k，
調(diào)整順序后易知2a_k，5a_k，8a_k成等差數(shù)列，
所以充分性也成立．
綜合（�。�（ⅱ），原命題成立．…10分
（3）因為a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3•2n+1-4n-6，
即21bn+22bn-1+23bn-2+…+2nb1=3•2n+1-4n-6，①
∴當(dāng)n≥2時，21bn-1+22bn-2+23bn-3+…+2n-1b1=3•2n-4n-2，②
則②式兩邊同乘以2，得22bn-1+23bn-2+24bn-3+…+2nb1=3•2n+1-8n-4，③
∴①-③，得2b_n=4n-2，即b_n=2n-1（n≥2），
又當(dāng)n=1時，2b1=3•22-10=2，即b₁=1，適合b_n=2n-1（n≥2），
∴b_n=2n-1．…14分
∴

bn

an

=

2n-1

2n

，∴

bn

an

-

bn-1

an-1

=

2n-1

2n

-

2n-3

2n-1

=

5-2n

2n

，
∴n=2時，

bn

an

-

bn-1

an-1

＞0，即

b2

a2

＞

b1

a1

；
∴n≥3時，

bn

an

-

bn-1

an-1

＜0，此時{

bn

an

}單調(diào)遞減，
又

b1

a1

=

1

2

，

b2

a2

=

3

4

，

b3

a3

=

5

8

，

b4

a4

=

7

16

，∴

7

16

＜λ≤

1

2

．…16分

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查分類討論思想的運用，計算化簡、變形能力與邏輯推理能力，屬于難題．