Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)于所有的n∈N₊，都有8S_n=（a_n+2）²．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式（寫出推證過(guò)程）；
（3）設(shè)bn=

4

an•an+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N₊都成立的最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）在8S_n=（a_n+2）²_{中，令n=1求a1，令n=2，求a2，l令n=3，可求a3}．
（2））根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，得a_n²-a_n-1²-4a_n-4a_n-1=0，化簡(jiǎn)整理可證．
（3）把（2）題中a_n的遞推關(guān)系式代入b_n，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求得T_n，最后解得使得 Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答：解：（1）n=1時(shí) 8a₁=（a₁+2）²∴a₁=2
n=2時(shí) 8（a₁+a₂）=（a₂+2）²∴a₂=6
n=3時(shí) 8（a₁+a₂+a₃）=（a₃+2）²∴a₃=10
（2）∵8S_n=（a_n+2）²∴8S_n-1=（a_n-1+2）²（n＞1）
兩式相減得：8a_n=（a_n+2）²-（a_n-1+2）²即a_n²-a_n-1²-4a_n-4a_n-1=0
也即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=4即{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列
∴a_n=2+（n-1）•4=4n-2
（3）bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

(2n-1)

-

1

(2n+1)

)
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

(2n-1)

-

1

(2n+1)

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

…
∵Tn＜

m

20

對(duì)所有n∈N₊都成立∴

m

20

≥

1

2

即m≥10
故m的最小值是10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查Sn與an的固有關(guān)系、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題的能力和推理能力．