Question

 (1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)．

(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e^－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

(3)已知正數(shù)a滿足：存在x₀∈[1，＋∞)，使得f(x₀)<a(－x＋3x₀)成立．試比較e^a－1與a^e－1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

 [解析]

(1)證明：因為對任意 x∈R，都有f(－x)＝e^－x＋e －(－x)＝e^－x＋e^x＝f(x)，

所以f(x)是R上的偶函數(shù)．

(2)由條件知 m(e^x＋e^－x－1)≤e^－x－1在(0，＋∞)上恒成立．

令 t＝e^x(x>0)，則 t>1，所以 m≤對任意 t>1成立．

因為＝3, 所以 －≥－，

當(dāng)且僅當(dāng) t＝2, 即x ＝ ln 2時等號成立．

因此實數(shù) m 的取值范圍是.

(3)令函數(shù) g(x)＝e^x＋－ a(－x³＋3x)，則g′ (x) ＝e^x－＋3a(x²－1)．

當(dāng) x≥1時，e^x－>0，x²－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e^－1－2a.

由于存在x₀∈[1，＋∞)，使ex₀＋e－x₀－a(－x＋ 3x₀ )<0 成立， 當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)<0，

故 e＋e^－1－2a<0, 即 a>.

令函數(shù)h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，則 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.

當(dāng)x∈(0，e－1)時，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)x∈(e－1，＋∞)時，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)．

所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．

注意到h(1)＝h(e)＝0，所以當(dāng)x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)時，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；

當(dāng)x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)時，

h(x)<h(e)＝0.

所以h(x)<0對任意的x∈(1，e)成立．

故①當(dāng)a∈⊆(1，e)時， h(a)<0，

即a－1<(e－1)ln a，從而e^a－1<a^e－1；

②當(dāng)a＝e時，e^a－1＝a^e－1；

③當(dāng)a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)時，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故e^a－1>a^e－1.

綜上所述，當(dāng)a∈時，e^a－1<a^e－1；當(dāng)a＝e時，e^a－1＝a^e－1；

當(dāng)a∈(e，＋∞)時，e^a－1>a^e－1.