(本小題滿分13分)

已知直線,圓.

(Ⅰ)證明:對(duì)任意,直線恒過(guò)一定點(diǎn)N,且直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn);

(Ⅱ)設(shè)以CN為直徑的圓為圓D(D為CN中點(diǎn)),求證圓D的方程為:

(Ⅲ)設(shè)直線與圓的交于A、B兩點(diǎn),與圓D:交于點(diǎn)(異于C、N),當(dāng)變化時(shí),求證為AB的中點(diǎn).

 

【答案】

(Ⅰ)∵N在圓C內(nèi),∴直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn).

(Ⅱ)軌跡的方程為.

【解析】

試題分析:(1)利用圓心到直線的距離小于半徑,判定,直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B;

(2)求解CN的中點(diǎn)坐標(biāo)和CN的長(zhǎng)度的一半得到圓心和半徑進(jìn)而求解圓的方程。

(3)利用圓的方程以及交點(diǎn)問(wèn)題得到求證。

(Ⅰ)方法1:聯(lián)立方程組

消去,得

∴直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)………………………………………………6分

方法2:將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為

可得:.

,所以直線過(guò)定點(diǎn)N(1,-1)

∵N在圓C內(nèi),∴直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn).…………………………6分

(Ⅱ)設(shè)CN的中點(diǎn)為D,由于°,

∴M點(diǎn)的軌跡為以CN為直徑的圓.

CN中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0),.

∴軌跡的方程為.……………………13分

考點(diǎn):本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于圓的方程的求解的常用方法的運(yùn)用,以及通過(guò)圓心到直線的距離判定線圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

 

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(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求異面直線所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


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