已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（2，0），且離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點N（
2
，0）且斜率為
6
3
的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求證：
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）由題意可知，
a=2
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得
a=1，b=1
c=
3
，
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），
由題意可得直線l的方程為：y=
6
3
(x-
2
)．
l聯(lián)立
y=
6
3
(x-
2
)
x2
4
+y2=1
消去y得：11x2-16
2
x+4=0，
∴x1+x2=
16
2
11
，x1x2=
4
11
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+
2
3
(x1-
2
)(x2-
2
)=
5
3
x1x2-
2
2
3
(x1+x2)+
4
3
=
20
33
-
64
33
+
4
3
=0．
∴
OA
•
OB
=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線：上一點到其焦點的距離為．
（I）求與的值；
（II）設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點．若是的切線，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=4x，過點A（x0，0）（其中x0為常數(shù)，且x0＞0）作直線l交拋物線于P，Q（點P在第一象限）；
（1）設點Q關于x軸的對稱點為D，直線DP交x軸于點B，求證：B為定點；
（2）若x0=1，M1，M2，M3為拋物線C上的三點，且△M1M2M3的重心為A，求線段M2M3所在直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標系xoy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設點A（1，
1
2
）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程；
（3）過原點O的直線交橢圓于B，C兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線BC的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心為坐標原點，離心率為
2
2
，直線?與橢圓C相切于M點，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點，且|MF1|+|MF2|=2
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線m過F1點，且與橢圓相交于A、B兩點，|AF2|+|BF2|=
8
2
3
，求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若動圓過定點A（-3，0）且和定圓（x-3）2+y2=4外切，則動圓圓心P的軌跡為（　　）
A．雙曲線B．橢圓C．拋物線D．雙曲線一支

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動點，過點P作直線L的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2．若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D．則：
（Ⅰ）雙曲線的離心率e=______；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知動點A在直線l：x=1上，點C的坐標為（-1，0），經(jīng)過點A垂直于直線l的直線，交線段AC的垂直平分線于點P．求點P的軌跡．

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同步練習冊答案