Question

15．在三角形ABC中，$sinA=\frac{4}{5}，cosB=\frac{5}{13}$，則cosC=（　�。�

• A． $\frac{33}{65}$或$\frac{63}{65}$
• B． $\frac{63}{65}$
• C． $\frac{33}{65}$
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，cosA的值，將cosC=化成-cos（A+B），再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式計(jì)算．

解答 解：∵sinA=$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{π}{3}$，cosB=$\frac{5}{13}$$＜\frac{1}{2}$=cos$\frac{π}{3}$，可求sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，可得：B＞$\frac{π}{3}$，
∴若A為鈍角，則A＞$\frac{2π}{3}$，則A+B＞π，矛盾，
∴A為銳角，可得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{33}{65}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，角的代換，計(jì)算能力．本題的關(guān)鍵是充分討論A的大小范圍，確定解的個(gè)數(shù)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．