Question

10．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三視圖如圖所示，E、F分別為A₁B₁、CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A₁BC；
（2）求D₁到平面A₁BC的距離．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中點(diǎn)G，連接CG，EG，證明四邊形EGCF是平行四邊形，可得EF∥CG，即可證明：EF∥平面A₁BC；
（2）由等體積可求D₁到平面A₁BC的距離．

解答 （1）證明：取A₁B的中點(diǎn)G，連接CG，EG，則
∵E、F分別為A₁B₁、CC₁的中點(diǎn)，
∴EG平行且等于CF，
∴四邊形EGCF是平行四邊形，
∴EF∥CG，
∵EF?平面A₁BC，CG?平面A₁BC，
∴EF∥平面A₁BC；
（2）解：由三視圖可得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=C₁D₁=2，A₁B₁=1，A₁D₁=1
取C₁D₁的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，則A₁，B，C，O共面，
△A₁BO中，OB=A₁B=$\sqrt{5}$，A₁O=$\sqrt{2}$，∴${S}_{△{A}_{1}BO}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$
設(shè)D₁到平面A₁BC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•1$，
∴h=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查D₁到平面A₁BC的距離，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．