定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，x＞1時f（x）＞0．
（1）求數(shù)學(xué)公式；
（2）判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x）=f（x×1）=f（x）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0
∴f（）=-f（2）=-1
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=f（x1）-f（x1）=f（）+f（x1）-f（x1）=f（）
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴
∵x＞1時f（x）＞0，∴f（）＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)
分析：（1）利用賦值法來求，根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），先求出f（1）的值，把1用2×表示，再根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，求出f（）的值．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明，其中當(dāng)判斷f（x2）-f（x1）的符號時，把x2用x1表示，再根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），即可判斷．
點評：本題主要考查了賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值，以及抽象函數(shù)單調(diào)性的證明．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽）設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=ax+
1
ax
+b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=
3
2
x，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（
13
）=1．
（1）求f（1）與f（3）；  
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））滿足f(m)+f(n)=f(mn)，且a、b(0＜a＜b)滿足|f(a)|=|f(b)|=2|f(
a+b
2
)|．
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；
（3）求證：3＜b＜2+
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f′（x）?x＜f（x），且f（2）=0，則
f(x)
x
＞0的解集為（　�。�
A、（0，2）
B、（0，2）∪（2，+∞）
C、（2，+∞）
D、?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=x2-2ax+4（a≥1），g(x)=
2xx+1
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值m（a）及g（x）的值域；
（2）若對任意x1、x2∈[0，2]，f（x2）＞g（x1）恒成立，求a的取值范圍．

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