Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x²-2x-8|．
（1）在區(qū)間[-3，5]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）設(shè)集合A={x|f（x）≥5}，B=（-∞，-3]∪[-1，3]∪[5，+∞）．寫出集合A和B之間的關(guān)系（相等或子集或真子集）；
（3）當(dāng)k＞2時，求證：在區(qū)間[-2，4]上，函數(shù)f（x）圖象位于函數(shù)y=kx+4k的圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象即可．
（2）求出集合A，利用兩個集合元素之間的關(guān)系確定集合關(guān)系．
（3）將圖象關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式g（x）=k（x+4）-（-x²+2x+8）＜0，然后證明即可．

解答：解：（1）如圖…（4分）
（2）方程f （x）=5的解分別是1-

14

，-1，3和1+

14

，
由于f（x）在（-∞，-2]和[1，4]上單調(diào)遞減，在[-2，1]和[4，+∞）上單調(diào)遞增，因此
A=(-∞，1-

14

]∪[-1，3]∪[1+

14

，+∞)．…（6分）
由于1+

14

＜5，1-

14

＞-3，
∴B?A…（8分）
（3）在區(qū)間[-2，4]上，函數(shù)f（x）圖象位于函數(shù)y=kx+4k的圖象的下方．
則只要證明g（x）=k（x+4）-（-x²+2x+8）＜0即可．
當(dāng)x∈[-2，4]時，f（x）=-x²+2x+8．
g（x）=k（x+4）-（-x²+2x+8）=x2+(k-2)x+(4k-8)=(x-

2-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，
∵k＞2，∴

2-k

2

＜0．又-2≤x≤6，…（10分）
①當(dāng)-2≤

2-k

2

＜0，即2＜k≤6時，取x=

2-k

2

，g(x)min=-

k2-20k+36

4

=-

1

4

[(k-10)2-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，∴（k-10）²-64＜0，
則g（x）_min＞0．…（12分）
②當(dāng)

2-k

2

＜-2， 即k＞6 時， 取x=-2，g(x)min=2k＞0．
由①、②可知，當(dāng)k＞2時，g （x）＞0，x∈[-2，4]．
因此，在區(qū)間[-2，4]上，函數(shù)f （x）圖象位于y=k（x+4）的圖象的下方．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．