Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，
（1）求過點(diǎn)P（3，4）的圓的切線方程；
（2）若過點(diǎn)Q（2，3）的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q恰為弦AB的中點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）確定點(diǎn)P在圓外，可得過點(diǎn)P的切線有兩條，再分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求過點(diǎn)P（3，4）的圓的切線方程；
（2）求出直線AB的方程，可得點(diǎn)O到直線AB的距離，求出AB的長，即可求△AOB的面積．

解答： 解：（1）∵|PC|=

(3-1)2+(4-2)2

＞2
∴點(diǎn)P在圓外，∴過點(diǎn)P的切線有兩條，…（2分）
∴當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為：x=3，滿足已知條件； …（4分）
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則切線方程為：y-4=k（x-3），
∴d=

|k-2+4-3k|

k2+1

=2，解得：k=0，
∴切線方程為：y=4．
綜上：過點(diǎn)P的切線方程為：x=3或y=4…（6分）
（2）∵點(diǎn)Q恰為弦AB的中點(diǎn)，∴kAB=-

1

kCQ

=-1，
∴l(xiāng)_AB：y-3=-（x-2）…（8分）
∴點(diǎn)O到直線AB的距離d=

5

2

…（10分）
又∵|AB|=2

2

，…（11分）
∴S△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×2

2

×

5

2

=5…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．