Question

20、已知函數(shù)f（x）=

lnx+a

x

（a∈R），g（x）=

1

x

（1）求函數(shù)g（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得g′（1）=-1，利用直線的點(diǎn)斜式即可求得函數(shù)g（x）在x=1處的切線方程；
（2）求得f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，由f′（x）＞0，可求得其單調(diào)遞增區(qū)間，由f′（x）＜0，可求其遞減區(qū)間，從而可求其極值；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=

lnx+a-1

x

，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)分類討論思想來(lái)研究F（x）的單調(diào)性與極值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵g（x）=

1

x

，
∴g′（x）=-

1

x2

．
∴g′（1）=-1，又g（1）=1，
∴函數(shù)g（x）在x=1處的切線方程為y-1=-（x-1），即y=-x+2．
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，令f′（x）=0，得x=e^1-a，
當(dāng)x∈（0，e^1-a）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在∈（0，e^1-a]上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^1-a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在∈[e^1-a，+∞）上是減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e^1-a]，單調(diào)遞減區(qū)間為[e^1-a，+∞），極大值為f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1，無(wú)極小值．
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=

lnx+a-1

x

，則F′（x）=

-lnx+2-a

x2

．
令F′（x）=0得x=e^2-a；令F′（x）＞0，得0＜x＜e^2-a；令F′（x）＜0，得x＞e^2-a．
故函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，e^2-a]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e^2-a，+∞）上是減函數(shù)．
①當(dāng)e^2-a＜e²，即a＞0時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，e^2-a]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e^2-a，e²]上是減函數(shù)．
∴F（x）_max=F（e^2-a）=e^a-2，
又F（e^1-a）=0，F(xiàn)（e²）=

a+1

e2

＞0．
∴當(dāng)0＜x＜e^1-a時(shí)，F(xiàn)（x）＜0；
當(dāng)e^1-a＜x≤e²時(shí)，F(xiàn)（x）＞0；
此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間（0，e²]上有一個(gè)公共點(diǎn)．
②當(dāng)e^2-a≥e²，即a≤0時(shí)，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，e²]上是增函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（e²）=

a+1

e2

．
若F（x）_max=F（e²）=

a+1

e2

≥0，即-1≤a≤0時(shí)，e^1-a≤e²，
∵F（e^1-a）=0，所以函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間（0，e²]上有一個(gè)公共點(diǎn)；
若F（x）_max=F（e²）=

a+1

e2

＜0，即a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在區(qū)間（0，e²]上沒有公共點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，著重考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．