Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）右支上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是到右準(zhǔn)線距離的6倍，則該雙曲線離心率的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P到右準(zhǔn)線距離為d，則d≥a-

a2

c

，求出P到右焦點(diǎn)的距離，P到左焦點(diǎn)的距離，利用雙曲線的定義，結(jié)合d≥a-

a2

c

，建立不等式，即可確定雙曲線離心率的范圍．

解答： 解：由題意，設(shè)P到右準(zhǔn)線距離為d，則d≥a-

a2

c

．
根據(jù)第二定義，可得P到右焦點(diǎn)的距離為ed，
∵右支上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是到右準(zhǔn)線距離的6倍，
∴P到左焦點(diǎn)的距離為6d，
∴6d-ed=2a，
∴d=

2a

6-e

（e＜6），
∴

2a

6-e

≥a-

a2

c

，
∴

2

6-e

≥1-

1

e

，
∴e²-5e+6≥0，
∴e≤2或e≥3，
∵1＜e＜6，
∴1＜e≤2或3≤e＜6．
故答案為：1＜e≤2或3≤e＜6．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．