Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點分別為
F₁，F(xiàn)₂，點P（2，

3

），點F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l₁：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，求證：直線l₁經過定點，并求該定點的坐標．
（3）若過點B（2，0）的直線l₂（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），△OBE與△OBF的面積之比為

1

2

，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）利用中垂線的性質可得：|F₁F₂|=|PF₂|，于是(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，即可得到c．再利用e=

c

a

=

2

2

，即b=

a2-c2

即可得出．
（2）把直線l₁：y=kx+m與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，利用直線F₂M與F₂N的傾斜角滿足α+β=π，可得：kF2M+kF2N=0，即可得到m與k的關系，再代入直線l₁的方程即可證明．
（3）設l₂方程為x=my+2（m≠0）①，將①代入橢圓的方程可得根與系數(shù)的關系．由

S△OBE

S△OBF

=

1

2

，可得

|BE|

|BF|

=

1

2

，即

BF

=2

BE

，可得m的值．

解答：解：（1）設橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵點F₂在線段PF₁的中垂線上，∴|F₁F₂|=|PF₂|，因此(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，
解得：c=1，又∵e=

c

a

=

2

2

，∴a=

2

，b=

a2-c2

=1．
故所求的橢圓C方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）依題意

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，化為：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．
又kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，
∵傾斜角滿足α+β=π，可得：kF2M+kF2N=0，
∴

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，化簡得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
∴

2k(2m2-2)

2k2+1

+

-4km(m-k)

2k2+1

-2m=0，整理得：m=-2k．
∴直線l₁的方程為y=k（x-2），因此直線l₁經過定點，該定點坐標為（2，0）．
（3）由題意知l₂的斜率存在且不為零．
設l₂方程為x=my+2（m≠0）①，將①代入

x2

2

+y2=1，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，
由△＞0得m²＞2．
設E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄），則

y3+y4= -4m m2+2 y3y4= 2 m2+2

②
由已知，

S△OBE

S△OBF

=

1

2

，則

|BE|

|BF|

=

1

2

由此可知，

BF

=2

BE

，即y4=2y3，代入②得，

3y3= -4m m2+2 2y32= 2 m2+2

，
消去y₃得

2

9

•

16m2

(m2+2)2

=

2

m2+2

解得，m2=

18

7

，滿足m²＞2即m=±

3 14

7

．
故所求直線l₂的方程為7x±3

14

y-14=0．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，傾斜角互補的直線斜率之間的關系、向量的運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．