Question

張三開車回家途中有6個(gè)交通崗，他在每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是．
（1）求他在途中至少一次遇到紅燈的概率；
（2）設(shè)ξ為他在途中遇到的紅燈次數(shù)，求ξ的期望和方差；
（3）設(shè)η表示他在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求η的分布列．

Answer 1

解：（1）他在每個(gè)路口遇到紅燈的概率為，則他在每個(gè)路口順利通過的概率為，所以他在途中一次紅燈都沒有遇到的概率為（）⁶=，所以他至少一次遇到紅燈的概率為1-=． （4分）
（2）他在6個(gè)路口遇到紅燈是相互獨(dú)立的，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，
則P（ξ=K）=（k=0，1，2，3，4，5，6），
所以ξ服從B（6，），所以Eξ=6×=2（次），Dξ=6××=． （8分）
（3）η的可能取值為0，1，2，3，4，5，6
P（η-0）=；P（η=1）==；P（η=2）==；P（η=3）==；
P（η=4）==；P（η=5）==；P（η=6）==，
η的分布列如下：

η	0	1	2	3	4	5	6
P

（12分）
分析：（1）先求他在途中一次紅燈都沒有遇到的概率，然后利用對(duì)立事件概率，可求他至少一次遇到紅燈的概率；
（2）確定ξ服從B（6，），利用公式可求ξ的期望和方差；
（3）確定η的可能取值，求出相應(yīng)的概率，從而可得η的分布列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．