Question

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

Answer 1

分析：法一：（立體幾何法）（1）由題設(shè)條件將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC可以判斷棱錐是一個正四面體，由正四面體的性質(zhì)再結(jié)合三垂線定理可證明結(jié)論；
（2）由題設(shè)條件，可將求異面直線AB與SC之間的距離的問題轉(zhuǎn)化為求直線AB與平面SCD之間的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可求得兩異面直線間的距離．
法二：（向量法）作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分點(diǎn)E，則OE，OC，OS兩兩互相垂直建立坐標(biāo)系，給出各點(diǎn)的空間坐標(biāo)
（1）求出兩直線AB與SD的方向向量，利用數(shù)量積為0與兩向量垂直的關(guān)系證明兩直線垂直即可；
（2）可兩異面直線公垂線的方向向量的坐標(biāo)為

n

=(x，y，z)，再由

n • AB =0 n • SC =0

建立方程求出此向量的坐標(biāo)，然后由公式d=

| n • AS |

| n |

求出AS在此方向上的投影即可得到兩異面直線之間的距離．

解答：解法一：（1）易知S-ABD是正四面體，作SO⊥平面ABCD于O，則O是正三角形ABD的垂心
∵AB⊥OD
∴AB⊥SD（三垂線定理）
（2）∵AC=6∴CD=SD=2

3

，設(shè)B到平面SCD的距離為d，SO=

SA2-AO2

=2

2

于是

3

4

•(2

3

)2•2

2

=

1

2

•(2

3

)2•d⇒d=

6

又AB∥平面SCD
∴異面直線AB與SC之間的距離即為點(diǎn)B到平面SCD的距離d，
所以兩異面直線之間的距離為

6

．
解法二：作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分點(diǎn)E，則OE，OC，OS兩兩互相垂直建立坐標(biāo)系（如圖）
A（-2，0，0，）  B（1，

3

，0）D（1，-

3

，0）
S（0，0，2

2

）

AB

=(3，

3

，0)

SD

=(1，-

3

，-2

2

)
（1）∵

AB

•

SD

=3×1+

3

×(-

3

)+0×(-2

2

)=0
∴AB⊥SD
（2）又C（4，0，0），可得

SC

=(4，0，-2

2

)，設(shè)

n

=(x，y，z)是兩異面直線公垂線的方向向量，
于是有

n • AB =0 n • SC =0

代入向量坐標(biāo)，令x=1，得

x=1 y=- 3 z= 2

∴

n

=(1，-

3

，

2

)，又

AS

=(2，0，2

2

)
∴兩異面直線之間的距離d=

| n • AS |

| n |

=

2+4

1+3+2

=

6

點(diǎn)評：本題考查求兩異面直線之間的距離及兩線的垂直關(guān)系的判定，本解答給出兩種解法，一個是傳統(tǒng)方法幾何法，一個是空間向量法，學(xué)習(xí)時要注意對比、體會兩種方法的不同與特征，體會向量法求解立體幾何題的過程與特點(diǎn)．本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想與轉(zhuǎn)化的思想．