Question

（理）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意非零的實(shí)數(shù)a，b∈R，滿足f(a•b)=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=2nf(2n)(n∈N*)，考查下列結(jié)論：
（1）f（1）=f（-1）；     （2）f（x）為偶函數(shù)；
（3）數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列； （4）數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：給a、b賦值，使它們都等于1，再使它們分別等于-1，1，得到結(jié)論（1）正確，把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數(shù)列，通過第二步整理，可得第三個結(jié)論正確．

解答：解：∵取a=b=1，可得f（1）=0，
取a=-1，b=1，可得f（-1）=0，
∴f（-1）=f（1），
即（1）正確，
∵f(a•b)=

f(b)

a

+

f(a)

b

，
∴f（2ⁿ）=f（2•2_n-1）
=

f(2n-1)

2

+

f(2)

2n-1

=

f(2n-1)

2

+

1

2n

=…
=

n

2n

，
∴an=

1

2n

，bn=n
∴（1），（3），（4）都正確，由已知不能判斷函數(shù)的奇偶性，故（2）錯誤．
故答案為：（1），（3），（4）．

點(diǎn)評：這種題做起來易出錯，使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題