Question

設(shè)雙曲線C的中心在原點(diǎn)，它的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且該點(diǎn)到雙曲線的一條準(zhǔn)線的距離為．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線C交于兩點(diǎn)A、B，試問：
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)；
（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱（a為常數(shù)），若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點(diǎn)為，（1分）
∴設(shè)中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為的雙曲線C的方程為．
∵到雙曲線的一條準(zhǔn)線的距離為，
∴．（2分）
∴．∴．（3分）
∴雙曲線C的方程為3x²-y²=1．（4分）
（Ⅱ）（1）由得（3-k²）x²-2kx-2=0．（5分）
由得．①（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴y₂y₁+x₂x₁=0，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1．（9分）
∴（kx₁+1）（kx₂+1）+x₁x₂=0．即x₁x₂（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0．②
將，，代入②，解得k=±1，滿足①．
∴k=±1時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．（10分）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱（a為常數(shù)），
則由④、⑤得a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2．（12分）
將代入上式，得2ak=6，∴ak=3．與③矛盾．（13分）
∴不存在實(shí)數(shù)k，使A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱．（14分）
分析：（I）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線的準(zhǔn)線方程，利用雙曲線中a，b，c的關(guān)系求出雙曲線方程．
（II）（1）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件；注意判別式大于0求出斜率的范圍；
將以AB為直徑的圓過原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為OA⊥OB即，將韋達(dá)定理代入向量等式求出k．
（2）利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱滿足兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上；兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直列出方程組，將韋達(dá)定理代入得到a，k關(guān)系．判斷出是否存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線中參數(shù)a，b，c的關(guān)系、考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常將它們的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理處理、
處理兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題常借用兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上；兩點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直．