Question

1．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并予以證明；
（2）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定義域，觀察是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再求出f（-x）觀察與f（x）的關(guān)系即可判斷．
（2）將不等式f（x）＞0轉(zhuǎn)化為log₂（1+x）＞log₂（1-x），然后利用函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可解出答案．

解答 解：（1）f（x）是奇函數(shù)．證明如下：
由f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）由意義得：
$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1．
∴f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∵f（-x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=-f（x），
∴f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）是奇函數(shù)．
（2）∵f（x）＞0，
∴l(xiāng)og₂（1+x）＞log₂（1-x），
∴1+x＞1-x，解得x＞0．
又∵-1＜x＜1，
∴0＜x＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．注意定義域的范圍，是基礎(chǔ)題．