Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（

3

，

1

2

），以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

TM

•

TN

的最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問丨OR丨•丨OS丨是否為定值？若是請求出定值，不是則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意，得a=2，根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（

3

，

1

2

），求出b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），設(shè)y₁＞0．由于點(diǎn)M在橢圓C上，故y12=1-

x12

4

．由T（-2，0），知

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=

5

4

（x₁+

8

5

）²-

1

5

，由此能求出圓T的方程．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則直線MP的方程為：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），令y=0，得x_R=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理：x_S=

x1y0+x0y1

y0+y1

，故x_Rx_S=

x12y02-x02y12

y02-y12

，由此能夠證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．

解答： 解：（1）依題意，得a=2，
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（

3

，

1

2

），
∴

3

4

+

1 4

b2

=1，
∴b=1，
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以y12=1-

x12

4

．     （*）
由已知T（-2，0），則

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=（x₁+2）²-y₁²
=

5

4

x₁²+4x₁+3=

5

4

（x₁+

8

5

）²-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故當(dāng)x₁=

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則直線MP的方程為：y-y₀=

y0-y1

x0-x1

（x-x₀），
令y=0，得x_R=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理：x_S=

x1y0+x0y1

y0+y1

，
故x_Rx_S=

x12y02-x02y12

y02-y12

    （**）
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x₀²=4（1-y₀²），x₁²=4（1-y₁²），
代入（**）式，得：x_Rx_S=4．
∴OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．