Question

2．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²-f′（0）x+c（c∈R），其中 f′（0）為函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（$\frac{1}{2}$，0）對稱，求實(shí)數(shù)c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（$\frac{1}{2}$，0）對稱，則將函數(shù)f（x）向左平移$\frac{1}{2}$后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6x-f′（0），
令x=0得f′（0）=0-f′（0）⇒f′（0）=0，…（3分）
即f（x）=2x³-3x²-x+c，f′（x）=6x²-6x，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
所以函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），…（6分）
（2）將函數(shù)f（x）向左平移$\frac{1}{2}$后得到函數(shù)為：$g（x）=2{（x-\frac{1}{2}）^3}-3{（x-\frac{1}{2}）^2}+c$，…（9分）
據(jù)題意知：函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，即g（0）=0，
解得$c=\frac{1}{2}$．                                       …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．