Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為a，側(cè)棱AA₁長為ka（k＞0），E為側(cè)棱BB₁的中點，記以AD₁為棱，EAD₁，A₁AD₁為面的二面角大小為θ．
（1）是否存在k值，使直線AE⊥平面A₁D₁E，若存在，求出k值；若不存在，說明理由；
（2）試比較tanθ與2

2

的大�。�

Answer 1

分析：（1）這是一個探索性問題，對于此類問題的一般解法是先假設(shè)存在，再通過題中位置關(guān)系建立等式，看看方程有沒有解，從而得出結(jié)論．設(shè)存在k值，滿足題中的條件，根據(jù)面面垂直關(guān)系得方程2[a2+(

ka

2

)2]=(ka)2，從而解出k=2，符合題意．
（2）取A₁A中點M，連接EM．在Rt△AA₁D₁中利用比例線段，得出MH的長度，再在Rt△EMH中利用正切的定義建立tanθ與k的關(guān)系式，最后討論k的取值，從而得出tanθ與2

2

的三種大小關(guān)系．

解答：解：（1）存在k=2，使得AE⊥平面A₁D₁E
證明：若AE⊥平面A₁D₁E，則AE⊥A₁E，于是AE²+A₁E²=AA₁²，
即2[a2+(

ka

2

)2]=(ka)2，解得k=2，
∴存在k=2，使得AE⊥平面A₁D₁E．
（2）取A₁A中點M，連接EM，在正四棱柱AC₁中，EM⊥平面ADD₁A₁，過M作MH⊥AD₁于H，連接EH，則∠MHE為二面角E-AD₁-A₁的平面角，即∠MHE=θ，
在Rt△AA₁D₁中，

MH

A1D1

=

AM

AD1

，即MH=

ka

2 1+k2

在Rt△EMH中，tanθ=

EM

MH

=2

1+ 1 k2

，
當(dāng)0＜k＜1時，tanθ＞2

2

；
當(dāng)k=1時，tanθ=2

2

；
當(dāng)k＞1時，tanθ＜2

2

點評：本題主要考查了直線與平面的判定與性質(zhì)，以及二二面角有關(guān)的立體幾何知識，屬于中檔題．解決此題應(yīng)該注意轉(zhuǎn)化歸和分類討論等常用數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．