Question

10．已知冪函數(shù)f（x）=（2m-n）x${\;}^{-{m}^{2}+n+4}$（m，n∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=ae^x-m（x+2）+2a²-n，若g（x）能取遍（0，+∞）內的所有實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得冪指數(shù)為偶數(shù)，且冪指數(shù)為正數(shù)，根據(jù)當2m-n=1時，冪指數(shù)為4，符合題意，可得冪函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由題意，g（x）=ae^x-（x+2）+2a²-1的最小值小于等于0．分類討論，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因為冪函數(shù)f（x）=（2m-n）x${\;}^{-{m}^{2}+n+4}$（m，n∈Z）為偶函數(shù)，
且在區(qū)間（0，+∞）上是單調遞增函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m-n=1}\\{-{m}^{2}+n+4＞0}\end{array}\right.$，冪指數(shù)為偶數(shù)
∴m=1，n=1，
故解析式為y=x⁴，
（Ⅱ）由題意，g（x）=ae^x-（x+2）+2a²-1的最小值小于等于0．
g′（x）=ae^x-1，a≤0，g′（x）＜0，滿足；
a＞0時，函數(shù)在（-∞，-lna）單調遞減，（-lna，+∞）單調遞增，
∴g_min（x）=2a²+1+lna-3≤0，∴a≤1，∴0＜a≤1．
綜上所述a≤1．

點評 本題主要考查冪函數(shù)的性質，考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題，正確轉化是關鍵，屬于中檔題．