Question

 (1)①證明兩角和的余弦公式

C_(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

②由C_(α＋β)推導兩角和的正弦公式

S_(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)已知cos α＝－，，

求cos(α＋β)．

Answer 1

解析 (1)證明　①如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與－β，使角α的始邊為Ox軸非負半軸，交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于點P₂；角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于點P₃，角－β的始邊為OP₁，終邊交⊙O于點P₄.

則P₁(1,0)，P₂(cos α，sin α)，P₃(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P₄(cos(－β)，sin(－β))．

由P₁P₃＝P₂P₄及兩點間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]²＋sin²(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]²＋[sin(－β)－sin α]²，展開并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.

②由①易得，cos＝sin α，

sin＝cos α.

sin(α＋β)＝cos

＝cos

＝coscos(－β)－sinsin(－β)

＝sin αcos β＋cos αsin β.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－.

∵β∈，tan β＝－，

∴cos β＝－，sin β＝.

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝.