已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1處有極值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值與最小值．

解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，
得a=4，或a=-3
∵a＞0，∴a=4，
b=-11（經(jīng)檢驗符合）
（2）f（x）=x3+4x2-11x+16，f'（x）=3x2+8x-11，
由f′（x）=0得
所以令f′（x）＞0得；令
所以f（x）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，4）上單調(diào)遞增，
又因為f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值為100，最小值為1020．
分析：（1）求出導函數(shù)，令導函數(shù)在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值．
（2）令導函數(shù)大于0求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；令導函數(shù)小于0求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的單調(diào)性，求出f（x）在[0，4]上的最值．
點評：本題考查導數(shù)在極值點處的值為0；導函數(shù)大于0對應函數(shù)的得到遞增區(qū)間，導函數(shù)小于0對應函數(shù)的遞減區(qū)間．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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