Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

(1)計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n；

(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想．

Answer 1

 解：(1)a₁＝1，a₂＝，a₃＝，a₄＝，

由此猜想a_n＝(n∈N^*)．

(2)證明：當n＝1時，a₁＝1，結論成立．

假設n＝k(k≥1，且k∈N^*)時，結論成立，

即a_k＝，

那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N^*)時，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k

＝2＋a_k－a_k＋1.

∴2a_k＋1＝2＋a_k，

∴a_k＋1＝＝＝，

這表明n＝k＋1時，結論成立．

∴a_n＝(n∈N^*)．