Question

設(shè)雙曲線C：-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且•=1，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（2）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)=λ•，若λ∈[-2，-1]，求|+|（T為（1）中的點(diǎn)）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，求得向量的坐標(biāo)，利用=1，P（x，y）在雙曲線上，即可求得結(jié)論；
（2）利用三點(diǎn)共線建立方程，利用P（x，y）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；
（3）用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理，求得模長，從而可得函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求其范圍．
解答：解：（1）由題，得A₁（-，0），A₂（，0），
設(shè)P（x，y），Q（x，-y），則，
由=1，可得 …①
又P（x，y）在雙曲線上，則   …②
聯(lián)立①、②，解得x=±2  
由題意，x＞0，∴x=2
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0）
（2）設(shè)直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）
由A₁、P、M三點(diǎn)共線，得   …③
由A₂、Q、M三點(diǎn)共線，得   …④
聯(lián)立③、④，解得x=，y= 
∵P（x，y）在雙曲線上，∴
∴軌跡E的方程為（x≠0，y≠0）
（3）由題意直線l的斜率不為0．故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1代入中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系，得y₁+y₂=  …⑤y₁y₂=  …⑥
∵，∴有（λ＜0）
將⑤式平方除以⑥式，得，即
由λ∈[-2，-1]，可得
∴，∴
∵=（x₁+x₂-4，y₁+y₂）
∴=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-+
令t=，∵，∴，即t∈[，]
∴=f（t）=8t²-28t+16=8（t-）²-
而t∈[，]，∴f（t）∈[4，]
∴|+|∈[2，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．