Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin（-πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸交于點（0，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調遞增區(qū)間；
（2）設P是函數(shù)f（x）圖象的最高點，M，N是函數(shù)f（x）圖象上距離P最近的兩個零點，求$\overrightarrow{PM}$與$\overrightarrow{PN}$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）把（0，1）代入已知函數(shù)解析式可得φ值，可得f（x）=2sin（πx-$\frac{π}{6}$），解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得單調遞增區(qū)間；
（2）分別令πx-$\frac{π}{6}$=π，$\frac{3}{2}$π和2π，可得P、M、N坐標，由向量的夾角公式可得．

解答 解：（1）把（0，1）代入已知函數(shù)解析式可得1=2sinφ，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（-πx+$\frac{π}{6}$）=-2sin（πx-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可解得2k+$\frac{2}{3}$≤x≤2k+$\frac{5}{3}$（k∈Z），
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[2k+$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{5}{3}$]（k∈Z）；
（2）由（1）可得f（x）=-2sin（πx-$\frac{π}{6}$），
令πx-$\frac{π}{6}$=π可解得x=$\frac{7}{6}$，
令πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$π可解得x=$\frac{5}{3}$，
令πx-$\frac{π}{6}$=2π可解得x=$\frac{13}{6}$，
故可取P（$\frac{5}{3}$，2），M（$\frac{7}{6}$，0），N（$\frac{13}{6}$，0），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{1}{2}$，-2），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{1}{2}$，-2），
設$\overrightarrow{PM}$與$\overrightarrow{PN}$的夾角為α，
則cosα=$\frac{-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+（-2）×（-2）}{\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-2）^{2}}•\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{15}{17}$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象，涉及單調性和向量的夾角公式，屬中檔題．