Question

已知點P在雙曲線上，且它到雙曲線一個焦點F的距離是1．
（1）求雙曲線方程；   
（2）過F的直線L₁交雙曲線于A，B兩點，若弦長|AB|不超過4，求L₁的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點P在雙曲線上，且它到雙曲線一個焦點F的距離是1，知=1，即c=，設雙曲線方程為，把點P代入，能求出雙曲線方程．
（2）由雙曲線方程是x²-y²=1，知F（），故直線L₁的方程是：，由，得（1-k²）x²+，由此利用弦長公式能求出L₁的斜率的取值范圍．
解答：解：（1）∵點P在雙曲線上，
且它到雙曲線一個焦點F的距離是1，
∴=1，即c=，
設雙曲線方程為，
把點P代入，得，
整理，得a⁴-5a²+4=0，解得a²=1，或a²=4（舍），
∴雙曲線方程是x²-y²=1．
（2）∵雙曲線方程是x²-y²=1，∴F（），
∴直線L₁的方程是：，
由，得（1-k²）x²+，
當k=±1時，直線與雙曲線的漸近線平行，弦長為0，成立．
當k≠±1時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
|AB|=≤4，
∴（1+k²）•≤16，
整理，得3k⁴-10k²+3≥0，
解得k²≥3，或，
∴，或，或，
綜上所述，L₁的斜率的取值范圍是{k|，或，或，或k=±1}．
點評：本題考查雙曲線方程的求法和求直線求的斜率的取值范圍．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意弦長公式的靈活運用，易錯點是容易忽視直線與雙曲線漸近線平行的情況．