Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0（t∈R）的圖形是圓．
（1）求t的取值范圍；
（2）求其中面積最大的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）把已知方程用配方法化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由r²＞0求出t范圍；
（2）當(dāng)半徑最大時(shí)圓的面積最大，即求二次函數(shù)y═-7t²+6t+1的最大值，驗(yàn)證在對(duì)稱軸的值是否取到；再代入r=

-7t2+6t+1

求出半徑即可．

解答：解：（1）方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，配方得
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（4t²-1）²-16t⁴-9
即（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=-7t²+6t+1
∴r²=-7t²+6t+1＞0，解得：-

1

7

＜t＜1
（2）由（1）知r=

-7t2+6t+1

∴當(dāng)t=

3

7

∈（-

1

7

，1）時(shí)，r有最大值即r=

-7×( 3 7 )2+6× 3 7 +1

=

4

7

7

；
∴rmax=

4

7

7

，此時(shí)圓面積最大，
所對(duì)應(yīng)圓的方程是(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元二次方程表示圓的條件和求半徑的最大值，可用配方法將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，利用r²＞0求出參數(shù)的范圍，求半徑的最大值時(shí)需要驗(yàn)證對(duì)稱軸的值是否取到．