Question

一副三角板（如圖），其中△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△DMN 中，∠MND=90°，∠D=60°，現(xiàn)將兩相等長的邊BC、MN重合，并翻折構(gòu)成四面體ABCD．CD=a
（1）當(dāng)平面ABC⊥平面BCD（圖（1））時(shí)，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值
（2）當(dāng)將平面ABC翻折到使A到B、C、D三點(diǎn)的距離相等時(shí)（圖（2）），
①求證：A在平面BCD內(nèi)的射影是BD的中點(diǎn)；
②求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點(diǎn)E，先證明AE⊥面BCD，從而找到線面角的平面角，再在直角三角形中計(jì)算此角即可（2）將平面ABC翻折到使A到B、C、D三點(diǎn)的距離相等，即三棱錐的三條側(cè)棱相等，則其在底面上的射影也相等，即A在平面BCD內(nèi)的射影是底面三角形的外心，而底面三角形是直角三角形，故可證明①；②取DC中點(diǎn)F，先證明AF⊥CD，OF⊥CD，從而找到二面角的平面角，再在直角三角形中計(jì)算此角即可

解答：解：（1）過A作AE⊥BC于E，連ED，
∵面ABC⊥面BCD，
∴AE⊥面BCD
∴∠ADE就是AD與面BCD所成的角
∵DC=a，則BC=

3

a，AE=

3

2

a，DE=

7

2

a
∴AD=

10

2

a，∴sin∠ADE=

30

10

即AD與面BCD所成角的正弦值為

30

10

．
（2）①設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O，連OB、OC、OD，
∵AB=AC=AD
∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOD，
∴OB=OC=OD
∴O是Rt△BCD的外心，即BD邊的中點(diǎn)．
②取CD中點(diǎn)F，連OF、AF，由①得A在面BCD內(nèi)的射影為O，OF∥BC，∴OF⊥CD，
∴AF⊥CD，
∴∠AFO就是二面角A-CD-B的平面角；
∵CD=a，
∴BD=2a，AB=

2

a，
∴AO=a，
又∵OF=

1

2

BC=

3

2

a
∴AF=

7

2

a，
∴Rt△AFO中，cos∠AFO=

OF

AF

=

21

7

即二面角A-CD-B的余弦值為

21

7

點(diǎn)評：本題考查了空間直線與平面所成的角，空間二面角的平面角的作法、證法、求法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法