Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 此題考察函數(shù)的求導(dǎo)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性．（1）可由公式求導(dǎo)，得出a和b的關(guān)系式．（2）求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．該題又用到二次函數(shù)的知識分類討論．

解答 解：（1）由f′（x）=x²+2ax+b，
∴f′（-1）=1-2a+b=0
∴b=2a-1
（2）f（x）=x³+ax²+（2a-1）x，
∴f′（x）=x²+2ax+2a-1
=（x+1）（x+2a-1）
令f′（x）=0，得x=-1或x=1-2a
①當a＞1時，1-2a＜-1
當x變化時，根據(jù)f′（x）與f（x）的變化情況得，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）
②當a=1時，1-2a=-1，此時有f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R、
③當a＜1時，1-2a＞-1，同理可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）
綜上：當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1-2a，-1）；
當a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-1，1-2a）

點評 此題是常規(guī)題型，難點是通過f′（x）的符號，確定f（x）的單調(diào)區(qū)間