直角坐標(biāo)系下，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)E（4，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足
MO
•
ME
=x2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)F（1，0）作互相垂直的直線l1，l2分別交軌跡C于點(diǎn)M，N和點(diǎn)R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值．
（Ⅰ）由題意：動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足
MO
•
ME
=x2，
∴（-x，-y）•（4-x，-y）=x2，即y2=4x為點(diǎn)M的軌跡方程．…（4分）
（Ⅱ）由題易知直線l1，l2的斜率都存在，且不為0，不妨設(shè)MN方程為y=k（x-1）
與y2=4x聯(lián)立得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=
2k2+4
k2

由拋物線定義知：|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=
4(k2+1)
k2
…（7分）
同理RQ的方程為y=-
1
k
(x-1)，求得|RQ|=4（k2+1）．…（9分）
∴SMRNQ=
1
2
|MN|•|RQ|=8
(k2+1)2
k2
=8(k2+
1
k2
+2)≥32．  …（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)k2=1，k=±1時(shí)取“=”，
故四邊形MRNQ的面積的最小值為32．…（15分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直角坐標(biāo)系下，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)E（8，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足
MO
•
ME
=x2，
（1）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過定點(diǎn)F（2，0）作互相垂直的直線l1，l2分別交軌跡C于點(diǎn)M，N和點(diǎn)R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值；
（3）定點(diǎn)P（2，4），動(dòng)點(diǎn)A，B是軌跡C上的三個(gè)點(diǎn)，且滿足KPA•KPB=8試問AB所在的直線是否過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•臺(tái)州二模）直角坐標(biāo)系下，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)E（4，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足
MO
•
ME
=x2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)F（1，0）作互相垂直的直線l1，l2分別交軌跡C于點(diǎn)M，N和點(diǎn)R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直角坐標(biāo)系下，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)E（0，4），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足
MO
•
ME
=y2
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過曲線C上任意一點(diǎn)M（x0，y0）（x0≠0）做兩條傾斜角互補(bǔ)的弦MA、MB，其中A、B在曲線C上，證明：曲線C在點(diǎn)M處切線的斜率與弦AB的斜率之和為0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年浙江省臺(tái)州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

直角坐標(biāo)系下，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)E（4，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足•=x2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)F（1，0）作互相垂直的直線l1，l2分別交軌跡C于點(diǎn)M，N和點(diǎn)R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值．

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