Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，DE =2AB=2，且F是CD的中點。

 (Ⅰ)求證：AF//平面BCE；

 (Ⅱ)求證：平面BCE⊥平面CDE；

 (Ⅲ)設，當為何值時？使得平面BCE與平面ACD所成的二面角的大小為。

 

Answer 1

【答案】

解：（I）取CE中點P，連結(jié)FP、BP，

∵F為CD的中點，∴FP//DE，且FP=………1分

又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF為平行四邊形，∴AF//BP�！�………………2分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE…………3分

   （II）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，…………4分

∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。 …………5分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE。 …………………7分

   （III）由（II），以F為坐標原點，F(xiàn)A，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別

為x，y，z軸（如圖），建立空間直角坐標系F—xyz.

已知AC=2，則C（0，，0），……8分

…9分

顯然，為平面ACD的法向量�！�……………………………10分

設平面BCE與平面ACD所成的二面角為

所以，當時，平面BCE與平面ACD所成的二面角為45°…………12分

【解析】略