Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，頂點A、C的坐標(biāo)分別為（-1，2）、（3，2），點B在x軸上，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點P是拋物線上一動點，當(dāng)S_△PAB=$\frac{5}{4}$S_△ABC時，求點P的坐標(biāo)；
（3）若點N由點B出發(fā)以每秒$\frac{6}{5}$個單位的速度沿邊BC、CA向點A移動，$\frac{1}{3}$秒后，點M也由點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BO向點O移動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時另一個點也停止移動，點N的移動時間為t秒，當(dāng)MN⊥AB時，請直接寫出t的值，不必寫解答過程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點，可得函數(shù)圖象對稱軸方程，求出b值后，將A點坐標(biāo)代入可得c值，進(jìn)而得到該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)出點P的坐標(biāo)，求出P到直線AB的距離，進(jìn)而可得點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)MN⊥AB時，兩直線斜率和為1，設(shè)出M，N兩點的坐標(biāo)，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，2）、C（3，2）兩點，
故拋物線y=-x²+bx+c的對稱軸方程x=$\frac{2}$=1，解得b=2，
故當(dāng)x=-1時，2=c-3，解得：c=5，
∴該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x²+2x+5，
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，
∴B點坐標(biāo)為：（3，0），
∴S_△ABC=4，AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
令A(yù)B所在直線方程為：y=k（x-3），將A（-1，2）代入得：k=-$\frac{1}{2}$，
即x+2y-3=0，
令P點坐標(biāo)為（a，-a²+2a+5），
當(dāng)S_△PAB=$\frac{5}{4}$S_△ABC=5時，
P點到AB的距離d=$\sqrt{5}$=$\frac{|-2{a}^{2}+5a+7|}{\sqrt{5}}$，
即-2a²+5a+2=0或-2a²+5a+12=0，
解得：a=$\frac{5±\sqrt{41}}{4}$，或a=4，或a=-$\frac{3}{2}$，
故P點坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{41}}{4}$，$\frac{27-\sqrt{41}}{8}$），或（$\frac{5-\sqrt{41}}{4}$，$\frac{27+\sqrt{41}}{8}$），或（4，-3），或（-$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{4}$），
（3）t=$\frac{5}{6}$，或t=$\frac{10}{3}$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點到直線距離公式，直線垂直的充要條件等知識點是解答的關(guān)鍵．