Question

為迎接2014年“馬”年的到來，某校舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題，問題A有三個選項，問題B有四個選項，但都只有一個選項是正確的，正確回答問題A可獲獎金a元，正確回答問題B可獲獎金b元．活動規(guī)定：參與者可任意選擇回答問題的順序，如果第一個問題回答正確，則繼續(xù)答題，否則該參與者猜獎活動終止．假設(shè)一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生．
（Ⅰ）如果參與者先回答問題A，求其恰好獲得獎金a元的概率；
（Ⅱ）試確定哪種回答問題的順序能使該參與者獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）隨機(jī)猜對問題A的概率P₁=

1

3

，隨機(jī)猜對問題B的概率P₂=

1

4

，利用概率的乘法公式可求參與者先回答問題A，恰好獲得獎金a元的概率；
（2）參與者回答問題的順序有兩種，先回答問題A，再回答問題B．先回答問題B，再回答問題A，做出兩種情況下的獲勝的期望，進(jìn)行比較，分類討論．

解答： 解：隨機(jī)猜對問題A的概率P₁=

1

3

，隨機(jī)猜對問題B的概率P₂=

1

4

．…（2分）
（1）設(shè)參與者先回答問題A，且恰好獲得獎金a元為事件M，則P（M）=P1(1-P2)=

1

3

×

3

4

=

1

4

，
即參與者先回答問題A，其恰好獲得獎金a元的概率為

1

4

．…（4分）
（2）參與者回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
①先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎金額ξ可取0，a，a+b，
則P（ξ=0）=1-P₁=

2

3

，P（ξ=a））=P1(1-P2)=

1

3

×

3

4

=

1

4

，P（ξ=a+b）=P₁P₂=

1

12

，
∴Eξ=0×

2

3

+a×

1

4

+（a+b）×

1

12

=

a

3

+

b

12

②先回答問題B，再回答問題A，參與者獲獎金額η，可取0，b，a+b，
則P（η=0）=1-P₂=

3

4

，P（η=b）=（1-P₁）P₂=

1

6

，P（η=a+b）=P₂P₁=

1

12

．
∴Eη=0×

3

4

+b×

1

6

+（a+b）×

1

12

=

a

12

+

b

4

…（10分）
∴Eξ-Eη=

3a-2b

12

于是，當(dāng)

a

b

＞

2

3

時，Eξ＞Eη，即先回答問題A，再回答問題B，獲獎的期望值較大；當(dāng)

a

b

=

2

3

時，Eξ=Eη，兩種順序獲獎的期望值相等；當(dāng)

a

b

＜

2

3

時，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎的期望值較大．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的計算，考查期望，期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)．