Question

我國(guó)政府對(duì)PM2.5采用如下標(biāo)準(zhǔn)：

PM2.5日均值m（微克/立方米）	空氣質(zhì)量等級(jí)
m＜35	一級(jí)
35≤m≤75	二級(jí)
m＞75	超標(biāo)

某市環(huán)保局從180天的市區(qū)PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取l0天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（Ⅰ）求這10天數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（Ⅱ）從這l0天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)這180天的空氣質(zhì)量情況，記η為這180天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求η的均值．

Answer 1

考點(diǎn)：莖葉圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（ I）利用莖葉圖和中位數(shù)的定義求解．
（ II）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，利用P(ξ=k)=

C k 4 • C 3-k 6

C 3 10

（k=0，1，2，3），能求出分布列．
（ III）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為

2

5

，由η～B(180，

2

5

)，能求出一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為72天．

解答： 解：（ I）由莖葉圖知：
10天的中位數(shù)為

1

2

（38+44）2=41（微克/立方米）…（2分）
（ II）由 N=10，M=4，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3
利用P(ξ=k)=

C k 4 • C 3-k 6

C 3 10

（k=0，1，2，3）即得分布列：

ξ	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

…（10分）
（ III）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為

2

5

，
由η～B(180，

2

5

)，
得到Eη=180×

2

5

=72（天），
∴一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為72天．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法和應(yīng)用，解題時(shí)要注意莖葉圖的合理運(yùn)用．