Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)：

2

bn

=

1

an

+1，求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，取倒數(shù)，可得數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列的和．

解答：解：（1）∵a_n+1=

an

2an+1

，∴

1

an+1

-

1

an

=2
∵a₁=1，∴

1

a1

=1
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，
∴an=

1

2n-1

；
（2）∵

2

bn

=

1

an

+1，∴

2

bn

=2n，∴bn=

1

n

∴b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，正確運(yùn)用求和公式是關(guān)鍵．