已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(1，0)，M為橢圓的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OMF是等腰直角三角形．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)是否存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且使點(diǎn)F為△PQM的垂心(垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn))？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由△是等腰直角三角形，得，，

故橢圓方程為　　5分

　　(Ⅱ)假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，

　　設(shè)，

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4926/0019/c8c87e7c1183605c6fc324d45c623b63/C/Image216.gif" width=49 height=21>，，故　　7分

　　于是設(shè)直線的方程為，

　　由得．

　　由，得，且，　　9分

　　由題意應(yīng)有，又，

　　故，

　　得．

　　即．

　　整理得．

　　解得或　　12分

　　經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．

　　當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為　　13分


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，A、B是橢圓上兩點(diǎn)，且|AF|：|BF|=3：2，直線AB與l交于點(diǎn)C，則B分有向線段
AC
所成的比為（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
2
3
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年黃岡中學(xué)二模理）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K，左頂點(diǎn)為A.

（1）求證：KF平分∠MKN；

（2）直線AM、AN分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線MN的傾斜角為，試用表示線段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（14分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C上任一點(diǎn)，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切。

  （1）已知橢圓的離心率；

  （2）若的最大值為49，求橢圓C的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù)學(xué)理工類(lèi)模擬試卷（三） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K，左頂點(diǎn)為A．

    （Ⅰ）求證：KF平分∠MKN；

   （Ⅱ）直線AM、AN分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，

設(shè)直線MN的傾斜角為，試用表示

線段PQ的長(zhǎng)度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

 

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（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C上任一點(diǎn)，MN是圓的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線恰好與圓相切．

  （Ⅰ）求橢圓的離心率；

  （Ⅱ）若的最大值為49，求橢圓C的方程．

 

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