Question

20．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₅=25，a₇=13，數列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=2b_n-1．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{a_n}{b_n}$，求數列{c_n}的前n項和Q_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，由S₅=25，a₇=13，列出方程組求出a₁和d的值；數列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=2b_n-1，利用遞推式與等比數列的通項公式即可得出；
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1，利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵S₅=25，a₇=13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{5a}_{1}+\frac{5×4}{2}×d=25}\\{{a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵數列{b_n}的前n項和為T_n，
T_n=2b_n-1，
∴當n=1時，b₁=2b₁-1，解得b₁=1，
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1）=2b_n-2b_n-1，
化為b_n=2b_n-1，
∴數列{b_n}是等比數列，首項為1，公比為2，
∴b_n=2^n-1；
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1；
∴數列{c_n}的前n項和Q_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2Q_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-Q_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ
=$\frac{2{（2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）×2ⁿ
=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴Q_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數列與等比數列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．