【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0垂直的切線,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設g(x)=f(x)+ ,若g(x)有極大值點x1 , 求證: >a.

【答案】解:(Ⅰ)因為f′(x)= ﹣2a,x>0, 因為函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0垂直的切線,
所以f′(x)=﹣ 在(0,+∞)上有解,
﹣2a=﹣ 在(0,+∞)上有解,
也即x= 在(0,+∞)上有解,
所以 >0,得a> ,
故所求實數(shù)a的取值范圍是( ,+∞);
(Ⅱ)證明:因為g(x)=f(x)+ x2= x2+lnx﹣2ax,
因為g′(x)=
①當﹣1≤a≤1時,g(x)單調(diào)遞增無極值點,不符合題意,
②當a>1或a<﹣1時,令g′(x)=0,設x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2
因為x1為函數(shù)g(x)的極大值點,所以0<x1<x2 ,
又x1x2=1,x1+x2=2a>0,所以a>1,0<x1<1,
所以g′(x1)=x12﹣2ax1+ =0,則a= ,
要證明 >a,只需要證明x1lnx1+1>ax12 ,
因為x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1 +1=﹣ x1+x1lnx1+1,0<x1<1,
令h(x)=﹣ x3 x+xlnx+1,x∈(0,1),
所以h′(x)=﹣ x2 +lnx,記P(x)=﹣ x2 +lnx,x∈(0,1),
則P′(x)=﹣3x+ = ,
當0<x< 時,p′(x)>0,當 <x<1時,p′(x)<0,
所以p(x)max=p( )=﹣1+ln <0,所以h′(x)<0,
所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以h(x)>h(1)=0,原題得證
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),問題轉化為x= 在(0,+∞)上有解,求出a的范圍即可;(Ⅱ)求出g(x)的解析式,通過討論a的范圍,問題轉化為證明x1lnx1+1>ax12,令h(x)=﹣ x+xlnx+1,x∈(0,1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

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瓶啤酒的情況

且圖表示的函數(shù)模型,則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)?(參考數(shù)據(jù):,

( 。

駕駛行為類型

閥值

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醉酒后駕車

車輛駕車人員血液酒精含量閥值

A.B.C.D.

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送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

20

40

20

10

10

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

10

20

20

40

10

(Ⅰ)現(xiàn)從甲公司記錄的100天中隨機抽取兩天,求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,回答下列問題:
(i)記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望;
(ii)小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇,并說明理由.

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連鎖店

售價(元)

80

86

82

88

84

90

銷量(件)

88

78

85

75

82

66

(1)分別以三家連鎖店的平均售價與平均銷量為散點,求出售價與銷量的回歸直線方程;

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附:.

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送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

20

40

20

10

10

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

10

20

20

40

10

(Ⅰ)現(xiàn)從甲公司記錄的100天中隨機抽取兩天,求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,回答下列問題:
(i)記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望;
(ii)小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇,并說明理由.

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