Question

（2012•茂名二模）在我市“城鄉(xiāng)清潔工程”建設(shè)活動(dòng)中，社會(huì)各界掀起凈化美化環(huán)境的熱潮．某單位計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)種植A，B，C，D四棵風(fēng)景樹(shù)，受本地地理環(huán)境的影響，A，B兩棵樹(shù)的成活的概率均為

1

2

，另外兩棵樹(shù)C，D為進(jìn)口樹(shù)種，其成活概率都為a（0＜a＜1），設(shè)ξ表示最終成活的樹(shù)的數(shù)量．
（1）若出現(xiàn)A，B有且只有一顆成活的概率與C，D都成活的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列（用a表示）；
（3）若出現(xiàn)恰好兩棵樹(shù)成活的概率最大，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，能夠列出方程2×

1

2

×(1-

1

2

)=a2，由此能夠求出實(shí)數(shù)a．
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）和P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列．
（3）由0＜a＜1，得

1

4

(1-a)2＜

1

2

(1-a)，

a2

4

＜

a

2

，由此能求出恰好兩棵樹(shù)成活的概率最大時(shí)的a的取值范圍．

解答：（本小題滿(mǎn)分13分）
解：（1）∵A，B兩棵樹(shù)的成活的概率均為

1

2

，另外兩棵樹(shù)C，D成活概率都為a（0＜a＜1），
出現(xiàn)A，B有且只有一顆成活的概率與C，D都成活的概率相等，
∴2×

1

2

×(1-

1

2

)=a2，
∴a=

2

2

．…（2分）
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4．…（3分）
P（ξ=0）=

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2=

1

4

(1-a)2，…（4分）
P（ξ=1）=

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a)，…（5分）
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

(1+2a-2a2)，…（6分）
P（ξ=3）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

a

2

，…（7分）
P（ξ=4）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

a2=

a2

4

．…（8分）
得ξ的分布列為：…（9分）

ξ	0	1	2	3	4
P	1 4 (1-a)2	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	a 2	a2 4

（3）由0＜a＜1，顯然

1

4

(1-a)2＜

1

2

(1-a)，

a2

4

＜

a

2

，…（10分）
∴P（ξ=2）-P（ξ=1）=

1

4

(1+2a-2a2)-

1

2

(1-a)=-

1

4

(2a2-4a+1)≥0，…（11分）
P（ξ=2）-P（ξ=3）=

1

4

(1+2a-2a2)-

a

2

=-

1

4

(2a2-1)≥0，…（12分）
由上述不等式解得a的取值范圍是

2- 2

2

≤a≤

2

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，求概率最大時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合知識(shí)的靈活運(yùn)用．