Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）及直線y=-

p

2

上一點(diǎn)Q(m，-

p

2

)，過點(diǎn)Q作拋物線的兩條切線QA，QB（A，B為切點(diǎn)）．
（1）求過點(diǎn)P與拋物線相切的直線l的方程；
（2）求直線AB的方程．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在直線y=-

p

2

上變化時，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由x²=2py（p＞0）得y=

1

2p

x2，故y′=

1

p

x，由此能求出過點(diǎn)P與拋物線相切的直線l的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線QA方程為x₁x-p（y+y₁）=0，直線QB方程為x₂x-p（y+y₂）=0，又點(diǎn)Q(m，-

p

2

)為直線QA，QB的交點(diǎn)，能求出直線AB的方程．
（3）由AB的方程知直線AB過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)為(0，

p

2

)．

解答：解：（1）由x²=2py（p＞0）得y=

1

2p

x2，故y′=

1

p

x，故過點(diǎn)P與拋物線相切的直線l的方程為y-y0=

x0

p

(x-x0)，
化簡得，x₀x-p（y+y₀）=0（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）得，直線QA方程為x₁x-p（y+y₁）=0，
直線QB方程為x₂x-p（y+y₂）=0，又點(diǎn)Q(m，-

p

2

)為直線QA，QB的交點(diǎn)，
故x1m-p(-

p

2

+y1)=0，x2m-p(-

p

2

+y2)=0
故點(diǎn)A，B都在直線上mx-p(y-

p

2

)=0，
即直線AB的方程為mx-p(y-

p

2

)=0（12分）
（3）由（2）知直線AB過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)為(0，

p

2

)（15分）
注：其他解法相應(yīng)給分．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．