Question

（本小題滿分12分）已知圓C:,直線L:
(1) 證明:無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，L與圓恒交于兩點(diǎn)；
(2) 求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)直線L的斜截式方程.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）y=2x-5.

解析試題分析：(1)將L的方程整理為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)=0
由得  ∴直線L經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(3,1)
∵(3－1)+(1－2)=5<25 ∴點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部,故直線L與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)
(2)圓心M(1,2)，當(dāng)截得弦長(zhǎng)最小時(shí),則L⊥AM,由k=得
L的方程為y－1=2(x－3) ，即y=2x-5.
考點(diǎn)：直線系方程；直線與圓的位置關(guān)系；直線的斜截式方程。
點(diǎn)評(píng)：熟練求出直線系方程所過(guò)定點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵。
（1）平行直線系：與Ax＋By＋C＝0平行的直線為：Ax＋By＋C₁＝0(C₁≠C)。
（2）垂直直線系：與Ax＋By＋C＝0垂直的直線為：Bx－Ay＋C₁＝0。
（3）定點(diǎn)直線系：若：＝0和：＝0相交，則過(guò)與交點(diǎn)的直線系為＋λ()＝0。