Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）詳情見解析；（2）．

【解析】

（1）對原函數(shù)求導(dǎo)，再分類討論當(dāng)與時導(dǎo)函數(shù)正負(fù)是x的取值范圍，即原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）分類討論實數(shù)a在區(qū)間左邊，內(nèi)部和右邊三種情況，其中在且時，表示出函數(shù)的最大值發(fā)現(xiàn)此時不滿足題設(shè)要求；當(dāng)時，取特殊的，對，由此時的最大值發(fā)現(xiàn)此時不滿足題設(shè)要求；當(dāng)時，令，對任意的，總存在，使得，分析了單調(diào)性之后發(fā)現(xiàn)其等價于，從而構(gòu)造不等式組求得答案.

（1）∵，，

當(dāng)時，對，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．

當(dāng)時，令，得，

∵時，，時，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

綜上所述，時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）討論：

①當(dāng)且時，由（1）知，在上單調(diào)遞減，則，

因為對任意的，總存在，使得，

所以對任意的，不存在，使得

②當(dāng)時，由（1）知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

則

因為對，對，

所以對，不存在，使得

③當(dāng)時，令，

由（1）知，在是增函數(shù)，進(jìn)而知是減函數(shù)，

所以，，

，

因為對任意的，總存在，使得，

即，故有，即，

所以，解得，綜上，的值為．