Question

（2013•唐山一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD丄底面ABCD，∠APD=

π

2

．
（I ）求證：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性質(zhì)及側(cè)面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，進(jìn)而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可證明平面PAB⊥平面PCD．
（II）如圖，以AB為x軸，AD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．
又∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．
因?yàn)镻A?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：如圖，以AB為x軸，AD為y軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由PA⊥PD，

PA

=（0，-a，-b），

PD

=（0，2-a，-b），
得-a（2-a）+b²=0．①
因?yàn)镻B=PC，所以2²+a²+b²=2²+（2-a）²+b²．②
由①，②得a=1，b=1．
由（Ⅰ）知，

PA

=（0，-1，-1）是面PCD的一個(gè)法向量．
設(shè)面PBC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

PB

=0，

n

•

BC

=0，
又

PB

=（2，-1，-1），

BC

=（0，2，0），
所以

2x-y-z=0 2y=0

取

n

=（1，0，2）．
因?yàn)閏os?＜

PA

，

n

＞?=-

10

5

，又二面角B-PC-D為鈍角，
所以二面角B-PC-D的余弦值-

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．