Question

6．函數(shù)y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，其中P是圖象的最高點，A、B是圖象與x軸的交點，則tan∠APB=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 過P作x軸垂線，交x軸于D，根據(jù)圖象求解出AB，和PB，PA的長度嗎，利用余弦定理求解cos∠APB，sin∠APB，可得tan∠APB．

解答 解：由題意函數(shù)y=sin（$\frac{π}{2}$x+φ），可得BC=T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$，
∵P是圖象的最高點，過P作x軸垂線，交x軸于D，
∴AD=1，AB=2，DP=1，
∴AP=$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{10}$，
由余弦定理可得cos∠APB=$\frac{B{P}^{2}+A{P}^{2}-A{B}^{2}}{2BP•AP}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則sin∠APB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠APB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則tan∠APB=$\frac{sin∠APB}{cos∠APB}=\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$．
故選D

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，以及余弦定理相結(jié)合的計算．屬于中檔題．