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已知雙曲線C1的方程為x2-=1,橢圓C2長軸的兩個端點恰好為雙曲線C1的兩個焦點.

(1)如果橢圓C2的兩個焦點又是雙曲線的兩個頂點,求橢圓C2的方程;

(2)如果橢圓C2的方程為=1,且橢圓C2上存在兩點A、B關于直線y=x-1對稱,求b的取值范圍.

解:(1)在雙曲線C1的方程=1中a=1,c=3,

則橢圓C2的方程為+=1.

(2)橢圓C2的方程為=1(0＜b＜9),

A、B點所在直線方程設為y=-x+m,

代入橢圓C2的方程得(b+9)x2-18mx+9(m2-b)=0.

由Δ=(18m)2-36(b+9)(m2-b)＞0得m2＜b+9.

設A(x1,y1)、B(x2,y2),那么

x1+x2=,=,

∴=.將=,=

代入直線y=x-1,得m=;再將m=代入m2＜b+9,得b2-19b+72＞0.

解得b＞(舍去)或b＜.

∵0＜b＜9,∴0＜b＜.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程是
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，C2的左、右頂點分別為C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B，且
OA
•
OB
＞2（O為原點），求k的取值范圍；
（3）設P1，P2分別是C2的兩條漸近線上的點，點M在C2上，且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，求△P1OP2的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
3
3
x，且它的一條準線與漸近線y=
3
3
x及x軸圍成的三角形的周長是
3
2
(1+
3
)．以C1的兩個頂點為焦點，以C1的焦點為頂點的橢圓記為C2．
（1）求C2的方程；
（2）已知斜率為
1
2
的直線l經過定點P（m，0）（m＞0）并與橢圓C2交于不同的兩點A、B，若對于橢圓C2上任意一點M，都存在θ∈[0，2π]，使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立．求實數m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如下圖,已知雙曲線C1的方程為=1(a＞0,b＞0),A、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,引QB⊥PB,QA⊥PA,AQ與BQ交于點Q.

(1)求Q點的軌跡方程;

(2)設(1)中所求軌跡為C2,C1、C2的離心率分別為e1、e2,當e1≥時,求e2的取值范圍.

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