Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，原點(diǎn)為，橢圓的動(dòng)弦過焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點(diǎn)為，過且垂直于線段的直線交射線于點(diǎn).

（Ⅰ）證明：點(diǎn)在定直線上；

（Ⅱ）當(dāng)最大時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析.( Ⅱ) .

【解析】

（I）求出橢圓 的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)AB所在直線為： （k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立直線與橢圓的方程組，通過韋達(dá)定理，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出ON的方程，與FM所在的直線方程聯(lián)立，解得點(diǎn)M坐標(biāo)即可求出M在定直線 上；（Ⅱ）由（I）可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，且F（1，0），求出向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積求出cos∠OMF取得最小值時(shí)，∠OMF最大，由此可得M的坐標(biāo)及直線AB的方程，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到線的距離公式求解三角形的面積的即可．

（I）橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)所在直線為 ，且 ，

聯(lián)立，得，

其中，，點(diǎn)坐標(biāo)為，

聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程，故點(diǎn)在定直線上.

（Ⅱ）由（I）可設(shè)坐標(biāo)為，，不妨取，

則，，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，所以時(shí)，取到最大值.

由，得坐標(biāo)為，，

直線方程，即，

，， ，

點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積