Question

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

3 3 c d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=

1 1

，屬于特征值1的一個特征向量為α₂=

3 -2

．
①求矩陣A；②求直線y=x+2在矩陣A的作用下得到的曲線方程．

Answer 1

分析：①根據特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數法建立四個等式關系，解二元一次方程組即可．
②設直線y=x+2上任意一點（x₀，y₀），（x'，y'）是所得的直線上一點，根據矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關系，把已知的點的坐標用未知的坐標表示，代入已知直線的方程，得到結果．

解答：解：①由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為 α1=

1 1

可得

3  3 c  d

 

1 1

=6

1 1

，
即

3+3=6 c+d=6

；
由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為 α2=

3 -2

，可得

3  3 c  d

 

3   -2

=

3   -2

，
即

3×3-3×2=3 3c-2d=-2

解得

c=2 d=4

，即矩陣 A=

3 3 2 4

．
②設y=x+2上一點（x₀，y₀）在A作用下變?yōu)椋▁′，y′），
則

3 3 2 4

x0 y0

=

x′ y′

，
∴

3x0+3y0 2 x0+4y0

=

x′ y′

，
∴

x′=3x0+3y0 y′=2x0+4y0

，∴

x0= 2 3 x′- 1 2 y′ y0= 1 2 y′  - 1 3 x′

，
∵y₀=x₀+2，代入得

1

2

y′-

1

3

x′=

2

3

x′-

1

2

y′+2，
化簡，得y′=x′+2，
∴變換后的直線方程是：y=x+2．

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查矩陣的變換，屬于基礎題．