Question

【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1B1 ， CD的中點(diǎn)．
（1）求| |
（2）求直線EC與AF所成角的余弦值；
（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則

A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），

，

∴

（2）解：∵ ， ，

∴

∴直線EC與AF所成角的余弦值為

（3）解：平面ABCD的一個(gè)法向量為

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為 ，

∵ ， ，

∴ ，令x=1，則y=2，z=﹣1 ，

則

由圖知二面角E﹣AF﹣B為銳二面角，其余弦值為

【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出| |．（2）求出 ， ，利用向量法能求出直線EC與AF所成角的余弦值．（3）求出平面ABCD的一個(gè)法向量和平面AEF的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】利用異面直線及其所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．